Conique du triangle

En géométrie euclidienne, une conique du triangle est une conique dans le plan du triangle de référence et qui lui est associée d'une manière ou d'une autre. Par exemple, le cercle circonscrit et le cercle inscrit au triangle de référence sont des coniques du triangle. D'autres exemples sont l'ellipse de Steiner, qui est une ellipse passant par les sommets et ayant son centre au centre de gravité du triangle de référence ; l'hyperbole de Kiepert qui est une conique passant par les sommets, le centre de gravité et l' orthocentre du triangle de référence ; et les paraboles d'Artzt, qui sont des paraboles touchant deux côtés étendus du triangle de référence aux sommets du triangle.

La terminologie de conique du triangle est largement utilisée dans la littérature mais sans définition formelle ; c'est-à-dire sans formuler précisément les relations qu'une conique devrait avoir avec le triangle de référence afin de la qualifier de triangle conique^,^,^,. Cependant, le mathématicien grec Paris Pamfilos définit une conique du triangle comme une « conique circonscrivant un triangle △ABC (c'est-à-dire passant par ses sommets) ou inscrite dans un triangle (c'est-à-dire tangente à ses côtés, éventuellement étendus)^,.» La terminologie de cercle du triangle (respectivement ellipse, hyperbole, parabole) est utilisée pour désigner un cercle (respectivement ellipse, hyperbole, parabole) associé au triangle de référence d'une certaine façon.

Même si plusieurs coniques du triangle ont été étudiées individuellement, il n'existe pas d'encyclopédie complète ni de catalogue de coniques du triangle similaire à l'Encyclopédie des centres triangulaires de Clark Kimberling ou au Catalogue of Triangle Cubics de Bernard Gibert.

Équations de coniques du triangle en coordonnées trilinéaires

L'équation d'une conique du triangle générale en coordonnées trilinéaires x : y : z a la forme $rx^{2} sy^{2} tz^{2} 2uyz 2vzx 2wxy=0.$ Les équations des coniques circonscrites et inscrites au triangle ont respectivement les formes ${\begin{aligned}&uyz vzx wxy=0\\[2pt]&l^{2}x^{2} m^{2}y^{2} n^{2}z^{2}-2mnyz-2nlzx-2lmxy=0\end{aligned}}$

Coniques du triangle spéciales

Dans ce qui suit, quelques coniques du triangle spéciales typiques sont présentées. Dans les descriptions, les notations standards sont utilisées : le triangle de référence est toujours noté △ABC. Les angles aux sommets A, B, C sont notés A, B, C et les longueurs des côtés opposés aux sommets A, B, C sont respectivement a, b, c. Les équations des coniques sont données à partir des coordonnées trilinéaires x : y : z . Les coniques sont sélectionnées pour illustrer les différentes manières dont une conique pourrait être associée à un triangle.

Cercles du triangle

Ellipses du triangle

Hyperboles du triangle

Paraboles du triangle

Familles de coniques du triangle

Ellipses de Hofstadter

Une ellipse de Hofstadter fait partie d'une famille d'ellipses à un paramètre dans le plan de △ABC défini par l'équation suivante en coordonnées trilinéaires : $x^{2} y^{2} z^{2} yz\left[D(t) {\frac {1}{D(t)}}\right] zx\left[E(t) {\frac {1}{E(t)}}\right] xy\left[F(t) {\frac {1}{F(t)}}\right]=0$ où t est un paramètre et ${\begin{aligned}D(t)&=\cos A-\sin A\cot tA\\E(t)&=\cos B-\sin B\cot tB\\F(t)&=\sin C-\cos C\cot tC\end{aligned}}$ Les ellipses correspondant à t et 1 − t sont identiques. Quand t = 1/2 on a l'ellipse $x^{2} y^{2} z^{2}-2yz-2zx-2xy=0$ et quand t → 0 on a l'ellipse circonscrite ${\frac {a}{Ax}} {\frac {b}{By}} {\frac {c}{Cz}}=0.$

Coniques de Thomson et Darboux

La famille des coniques de Thomson comprend les coniques inscrites dans le triangle de référence △ABC ayant la propriété que les normales aux points de contact avec les côtés sont concurrentes. La famille des coniques de Darboux contient comme membres les coniques circonscrites à △ABC telles que les normales aux sommets de △ABC sont concourantes. Dans les deux cas, les points de concurrence se situent sur la cubique de Darboux^,.

Coniques associées aux interceptions parallèles

Étant donné un point arbitraire dans le plan du triangle de référence △ABC, si des lignes sont tracées passant par P parallèlement aux lignes latérales BC, CA, AB coupant les autres côtés en X_b, X_c, Y_c, Y_a, Z_a, Z_b alors ces six points d'intersection se trouvent sur une conique. Si P est choisi comme le point de Lemoine, la conique résultante est un cercle appelé cercle de Lemoine. Si les coordonnées trilinéaires de P sont u : v : w l'équation de la conique à six points est $-(u v w)^{2}(bcuyz cavzx abwxy) (ax by cz)(vw(v w)ax wu(w u)by uv(u v)cz)=0$

Coniques d'Yff

Les membres de la famille des coniques à un paramètre définie par l'équation $x^{2} y^{2} z^{2}-2\lambda (yz zx xy)=0,$ où $\lambda$ est un paramètre, sont les coniques d'Yff associées au triangle de référence △ABC. À chaque point P(u : v : w) est associé un membre de la famille P(u : v : w) dans le plan en posant $\lambda ={\frac {u^{2} v^{2} w^{2}}{2(vw wu uv)}}.$ La conique d'Yff est une parabole si $\lambda ={\frac {a^{2} b^{2} c^{2}}{a^{2} b^{2} c^{2}-2(bc ca ab)}}=\lambda _{0}$ C'est une ellipse si $\lambda <\lambda _{0}$ et $\lambda _{0}>{\frac {1}{2}}$ et c'est une hyperbole si $\lambda _{0}<\lambda <-1$ . Pour $-1<\lambda <{\frac {1}{2}}$ , les coniques sont imaginaires.

Coniques de Rabinowitz

La famille des coniques de Rabinowitz sont liées à un point P du plan du triangle de référence △ABC. Pour la construire, on construit le point D à l'extérieur du triangle tel que BD = BP et (BD) // (AP), puis de façon similaire les points E, F, G, H et I. Ces points sont tous sur une même conique.